Intuisi mengenai pembinaan GNS dan bagaimana ia berkaitan dengan mekanik kuantum biasa

user1620696 06/13/2017. 3 answers, 274 views
quantum-mechanics mathematical-physics operators hilbert-space definition

Membaca satu kertas, pembinaan GNS disebut sebagai berikut:

Penting untuk mengingatkan bahawa hasil (teorem) disebabkan oleh Gel'fand, Naimark dan Segal (GNS) menetapkan bahawa untuk mana-mana $ \ omega $ pada $ \ mathcal {A} $ ada selalu terdapat perwakilan $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ dari $ \ mathcal {A} $ dan $ \ Phi_ \ omega \ in \ mathfrak {h} _ \ omega $ (biasanya disebut cyclic vector ) mathcal {A}) \ Phi_ \ omega $ adalah padat dalam $ \ mathfrak {h} _ \ omega $ dan $ \ omega (A) = \ langle \ Phi_ \ omega | f _ {\ omega} (\ mathcal {A}) | \ Phi_ \ omega \ rangle $. Selain itu, keputusan GNS mewajarkan bahawa kesamaan kesatuan, $ (f_ \ omega, \ mathfrak {h} _ \ omega) $ adalah perwakilan kitaran unik $ \ mathcal {A} $.

Kini, memandangkan matematik terdapat teorem dan bukti sepadan. Maksud saya di sini bukan untuk membincangkan perkara ini. Maksud saya di sini adalah untuk membincangkan intuisi tentang pembinaan ini dari sudut pandangan Fizik.

Jadi perkara pertama yang membuat saya keliru: dalam pendekatan C $ \ ast $ -algebra, saya fikir setiap negeri $ \ omega: \ mathcal {A} \ to \ mathbb {R} $ adalah rakan sejawat $ ket | \ phi \ rangle $ dalam pendekatan tradisional.

Kita melihat dalam pembinaan GNS, walaupun, bahawa setiap negeri $ \ omega $ menginduksi satu perwakilan . Dengan kata lain, bukannya untuk setiap $ \ omega $ one ket, kita ada untuk setiap $ \ omega $ satu seluruh ruang Hilbert.

Lebih daripada itu, kita mempunyai keadaan vektor kitaran, yang secara fizikal saya tidak faham.

Jadi soalan saya ialah: apakah intuisi pada pembinaan GNS dari sudut pandangan Fizik? Bagaimana keadaan $ \ omega $ daripada pendekatan algebra berkaitan dengan $ | \ psi \ rangle $ (vektor keadaan) dalam pendekatan tradisional? Apakah keadaan vektor kitaran ini dari perspektif fizikal?

3 Answers


Slereah 06/13/2017.

Idea asas pembinaan GNS adalah bahawa anda menggunakan keadaan tunggal (selalunya ini akan menjadi vakum, jika kita sedang bekerja di ruang datar) untuk mencipta semula seluruh ruang Hilbert. Hal ini memang berkaitan dengan kemunculan: set semua vektor yang dihasilkan oleh tindakan aljabar pada vakum adalah padat dalam ruang Hilbert yang terhasil. Jadi untuk menghasilkan ruang Hilbert penuh, hanya gunakan setiap ahli algebra $ $ - algebra untuk menghasilkan subset padat dalam ruang Hilbert, kemudian lakukan penyelesaian Cauchy bagi mereka untuk menghasilkan ruang Hilbert penuh.

Cara mudah untuk mendapatkan semula perwakilan biasa sebagai ruang Hilbert adalah untuk mempertimbangkan produk tiga ahli algebra, maka perwakilan mereka $ \ pi $ sebagai operator ruang Hilbert menjadi

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ omega, \ pi (ABC) \ omega \ rangle $$

Kemudian anda hanya boleh menentukan negeri-negeri $ \ vert \ psi \ rangle = \ pi (C) \ vert \ omega \ rangle $ dan $ \ vert \ phi \ rangle = \ pi (A) \ vert \ omega \ rangle $, keadaan anda menjadi

$$ \ omega (ABC) = \ langle \ phi, \ pi (B) \ psi \ rangle $$

Ini menjadi peralihan biasa antara dua negeri.

Satu contoh mudah ini adalah contohnya untuk mempertimbangkan penciptaan dan pembasmian pengendali pada vakum. Mereka membentuk aljabar $ C ^ * $, dan mereka boleh bertindak di dalam keadaan vakum untuk mewujudkan sejumlah negeri yang akan membentuk ruang Hilbert. Sebaliknya, tiada jumlah penerapan pengendali penciptaan pada vakum akan memberi anda keadaan yang ditakrifkan oleh keadaan Fock

$$ \ vert 1,1,1,1,1, .... \ rangle $$

Sekiranya kita telah menggunakan negeri ini sebagai asas $ \ omega $, kita akan mempunyai teori yang sama sekali tidak bersamaan.


ACuriousMind 06/13/2017.

Dalam perintah terbalik:

  1. Cyclicity harus dianggap sebagai jenis keadaan irreducibility. Perhatikan bahawa setiap vektor perwakilan yang tidak dapat di awalkan adalah kitaran, dan oleh itu kewujudan vektor bukan kitaran akan menunjukkan kebolehbakaran. Oleh itu, terdapat sedikit maknanya mengenai sifat cikal di luar idea biasa untuk mengkaji semua perwakilan yang tidak dapat dibuktikan kerana ini mengandungi semua maklumat berkaitan algebra. Salah satu aspek yang boleh dikatakan adalah menuntut sifat ciptaan menjadikan pembinaan GNS unique - mungkin terdapat banyak ruang di mana setiap keadaan abstrak diwakili oleh vektor, tetapi semua perwakilan di mana ia adalah kitaran bersifat isomorfik secara tidak sengaja.

  2. Hubungan antara negeri dan vektor adalah seperti berikut: Dalam satu arah, dari vektor ke negeri, kita mempunyai itu untuk setiap perwakilan $ \ rho: \ mathcal {A} \ ke \ mathrm {B} (H) $ di ruang Hilbert $ H $ dengan pengendali terikat $ \ mathrm {B} (H) $ dan setiap vektor $ v \ dalam H $, peta $ \ mathcal {A} \ to \ mathbb {C}, A \ mapsto \ rho (A) \ vert v \ rangle $ adalah keadaan dalam erti abstrak. Sebaliknya, ia adalah tepat dari pembinaan GNS yang untuk setiap keadaan abstrak seseorang boleh mencari ruang Hilbert supaya keadaan diberikan oleh vektor pada ruang itu dalam erti kata itu.

  3. Saya tidak melihat apa-apa intutif mengenainya (dan saya agak hairan apa jenis intuisi yang anda harapkan untuk abstrak $ C ^ \ ast $ -algebras), tetapi secara fizikal, pembinaan GNS menjamin kita bahawa abstrak $ C ^ \ ast $ -algebraic perspektif dan pendekatan tradisional yang bermula dengan aljabar yang diamati pada ruang Hilbert bersamaan: Jumlah langsung daripada semua representasi GNS yang berkaitan dengan (tulen) keadaan aljabar $ \ mathcal {A} $ adalah setia dan isometri, bahawa adalah, algebra abstrak adalah isomorfik isometrik kepada algebra operator yang dibatasi pada ruang Hilbert. Oleh itu, no difference in the outcomes sama ada kita mengambil "abstrak" atau "konkrit" pandangan. Inilah kandungan Teorem Gel'fand-Naimark .


user154997 06/13/2017.

Sebagai ahli fizik, saya memahami GNS sebagai berikut.

versi pendek

Memandangkan pemerhatian, nilai jangkaan dan simetri, kita boleh membina semula QM biasa dengan ruang Hilbert, takrifan jangkaan nilai sebagai "sandwic", dan perwakilan biasa simetri.

versi yang lebih formal

Kami memberikan diri kita sendiri

  • sebuah algebra $ \ mathcal {A} $ stabil di bawah $ A \ mapsto A ^ * $: yang akan dikenalpasti dengan pengendali kami;
  • fungsi $ \ omega $ mengaitkan nombor kompleks untuk setiap elemen algebra: yang akan menjadi nilai jangkaan operator;
  • satu kumpulan simetri $ G $ yang bertindak pada algebra itu sedemikian
    • sebarang simetri $ s $ memenuhi $ s (AB) = s (A) s (B) $,
    • dan ia meninggalkan $ \ omega $ invarian: $ \ omega (s (A)) = \ omega (A) $.

Kemudian GNS membina:

  • ruang Hilbert $ \ mathcal {H} $,
  • vektor vakum $ \ mid 0 \ rangle $,
  • sebuah perwakilan $ \ phi $ dari algebra $ \ mathcal {A} $, iaitu pemetaan dari $ \ mathcal {A} $ ke $ \ mathcal {H} $ dengan demikian $ \ phi (AB) = \ phi (A) \ phi (B) $, yang selanjutnya mempunyai harta bahawa jangkaan sebarang unsur $ A \ in \ mathcal {A} $ adalah jangkaan kuantum $ \ phi (A) $: $$ \ omega (A) langle 0 \ mid \ phi (A) \ mid 0 \ rangle $$
  • satu kumpulan simetri yang membawa simetri di ruang Hilbert, iaitu setiap $ s \ dalam G $ dikaitkan dengan pengendali persamaan $ U_s $ di ruang Hilbert, seperti $$ \ phi (s (A)) = U_s \ phi (A) U_s ^ * $$

cyclicity of the vakum

Versi pendek adalah dengan menerapkan semua representasi pengendali ke vakum, kita memperoleh hampir semua elemen $ \ mathcal {H} $. Versi yang ketat ialah $ \ left \ {\ phi (A) \ mid \! 0 \ rangle \ mid A \ in \ mathcal {A} \ right \} $ padat dalam $ \ mathcal {H} $.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags