Apakah definisi suhu, sekali dan untuk semua? [pendua]

Joshua Benabou 06/05/2017. 5 answers, 3.517 views
thermodynamics statistical-mechanics temperature definition

Soalan ini sudah mempunyai jawapan di sini:

Bolehkah seseorang menjelaskan kepada saya apa definisi suhu rasmi?

Buku teks saya, ataupun profesor saya, atau mana-mana sumber dalam talian yang saya periksa dapat memberi saya definisi suhu yang betul. Malah Feynman tidak menentukan suhu. Sejujurnya, jumlah definisi bulat dan kekaburan yang saya temui dalam usaha untuk memahami definisi tepat mengenai konsep termodinamik adalah mengejutkan.

Perkara terbaik yang saya dapat ialah suhu sistem zarah adalah ukuran tenaga kinetik purata.

Dalam memperoleh undang-undang gas ideal untuk gas monoatomik, terbitan formula tenaga dalaman $ U = 3 / 2PV $ jelas kepada saya. Walau bagaimanapun, ia digunakan bahawa tenaga kinetik purata sistem diberikan dari segi suhunya sebagai $ 3 / 2kT $. Untuk gas monoatomik, jumlah tenaga hanyalah jumlah molekul $ N $ yang didarab dengan tenaga kinetik purata (sejak molekul dianggap tidak mempunyai tenaga putaran), dan dengan demikian $ U = 3 / 2NkT $, yang memberikan $ PV = NkT $ yang merupakan undang-undang gas yang ideal.

Jadi saya mengambil kenyataan bahawa tenaga kinetik rata-rata sistem adalah sama dengan konstan yang didarabkan dengan suhu $ T $ sebagai definisi untuk suhu? Saya tidak fikir begitu kerana ini sebenarnya teorem equipartition, yang bermaksud suhu mesti ditakrifkan secara berasingan di tempat lain.

Jadi apakah takrif suhu yang betul dalam termodinamik dan teori kinetik, dan seterusnya, kenapa apabila kita meletakkan termometer dalam mandi air kita boleh katakan bacaan yang kita dapat ialah ukuran purata kinetik tenaga molekul dalam mandi?

5 Answers


user154997 06/06/2017.

Memandangkan Fabian memberi anda perspektif termodinamik, saya akan cuba memberi anda pandangan fizik statistik. Anda sebenarnya sangat dekat apabila anda menyebut teorem equipartition sejak gambaran umum adalah sangat.

Versi ultra terse: suhu adalah kebalikan dari pengganda Lagrange yang memastikan pemuliharaan tenaga dalam memaksimumkan entropi statistik.

Saya akan kekal dalam rangka klasik supaya saya tidak perlu mengatasi anda dengan jentera mekanik kuantum pengendali kepadatan. Katakan kita mempunyai sistem zarah $ N $. Kita memberi diri kita ketumpatan fasa $ D (x_1, p_1, x_2, p_2, \ cdots, x_N, p_N) $: kebarangkalian bahawa zarah i-mempunyai kedudukan antara $ x_i $ dan $ x_i + \ delta x_i $, dan momentum antara $ p_i $ dan $ p_i + \ delta p_i $ adalah sebanding dengan $ D (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) \ delta x_1 \ delta p_1 \ cdots \ delta x_N \ delta p_N $. Kemudian kami membina entropi statistik $ S (D) $. Oleh itu, ini berfungsi, iaitu fungsi fungsi $ D $:

$$ S (D) = -k \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N \ D \ log D $$

di mana saya tidak menulis argumen $ D $ untuk dibaca.

Kini permainan adalah untuk mencari $ D $ yang memaksimumkan $ S (D) $ di bawah kekangan yang terdapat beberapa makroskopik kuantiti diketahui. Contoh yang paling mudah ialah ensemble kanonik di mana tenaga makroskopik $ U $ diketahui.

$$ U = \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N \ D \ u $$

di mana $ u (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) $ adalah tenaga mikroskopik untuk titik yang diberikan dalam ruang fasa. Sebagai contoh, untuk gas yang sempurna, kita boleh mengambil kira hanya tenaga kinetik,

$$ u (x_1, p_1, \ cdots, x_N, p_N) = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {p_i ^ 2} {2m}, $$

di mana $ m $ akan menjadi jisim setiap molekul dalam gas.

Yang memaksimumkan pengekalan kemudiannya berubah menjadi satu yang tidak terkawal dengan benar memaksimumkan

$$ S (D) + \ beta U + \ lambda_0 \ int dx_1dp_1 \ cdots dx_Ndp_N D $$

di mana $ \ lambda_0 $ diperkenalkan untuk menguatkuasakan kekangan itu, sentiasa ada, bahawa $ D $ perlu dinormalisasikan kepada 1 supaya definisi probabilistik di atas masuk akal. $ \ beta $ dan $ \ lambda_0 $ dipanggil pengganda Lagrange. Hasilnya ialah

$$ D = \ frac {1} {Z} e ^ {- \ beta u} $$

di mana normalisasi $ Z $ dipanggil fungsi partition. Inilah pembahagian Boltzmann-Gibs. Akhirnya, kita boleh menentukan suhu $ T $ sebagai

$$ \ beta = \ frac {1} {kT} $$


Diracology 06/06/2017.

Dari sudut pandangan logik dan termodinamik, definisi suhu mesti diberikan oleh Hukum Zeroth Termodinamik.

Katakan kita tidak tahu apa suhunya. Walau bagaimanapun, kita tahu bahawa jika kita membiarkan dua badan berinteraksi, mereka boleh mengubah beberapa sifat termometrik (seperti isipadu, tekanan, rintangan elektrik, ...) antara satu sama lain. Apabila tiada perubahan sama sekali dalam mana-mana termometrik, kita katakan bahawa badan-badan telah mencapai keseimbangan terma. Hukum Zeroth terdiri daripada fakta empirikal bahawa jika $ A $ berada dalam keseimbangan termal dengan $ B $ dan $ B $ berada dalam keseimbangan termal dengan $ C $, maka $ A $ berada dalam keseimbangan termal dengan $ C $. Ini adalah hubungan kesetaraan yang mengklasifikasikan satu set badan ke subsets yang dipanggil kelas kesamaan . Kami kemudian melabel setiap kelas dengan nombor $ T> 0 $ yang akan kita panggil suhu. Undang-undang Zeroth membenarkan kita menubuhkan keseimbangan terma dari segi pembolehubah baru yang dipanggil suhu.

Takrifan di atas tidak mutlak sekalipun. Bilangan yang kita kaitkan dengan setiap subset badan dalam keseimbangan termal adalah sewenang-wenangnya. Untuk mengeluarkan kesungguhan ini (sekurang-kurangnya sebahagiannya) kita menggunakan Hukum Termodinamik Kedua untuk menentukan suhu mutlak atau termodinamik yang dipanggil. Undang-undang kedua menunjukkan bahawa mana-mana enjin termal yang berbalik di antara dua sumber mempunyai kecekapan yang diberikan oleh $$ \ eta_R = 1 \ frac {T_2} {T_1}, $$ di mana $ T_1 $ dan $ T_2 $ adalah suhu sumber. Memandangkan kesamaan hasil ini, seseorang boleh misalnya dengan sewenang-wenangnya menentukan suhu sumber sejuk $ T_2 $, ukur - mekanikal - kecekapan enjin dan kemudian suhu $ T_1 $ ditentukan oleh $$ T_1 = \ frac {T_2} {1- \ eta_R}. $$ Perhatikan bahawa tidak ada lagi arbitrariness tentang konsep suhu, kecuali untuk pilihan suhu sumber sejuk. Oleh itu, sesuai digunakan sebagai titik rujukan yang mana boleh diulangi di mana-mana sahaja. Pilihan standard ialah titik tiga air yang ditakrifkan pada $ 273.16 \, \ mathrm K $.


Fabian 06/06/2017.

Inilah definisi suhu dalam termodinamik:

  • undang-undang pertama mentakrifkan heat $ Q $ sebagai tenaga "hilang" $$ \ delta Q = d U - dW \ tag {1} $$ di mana $ U $ adalah jumlah (dalam) tenaga dan $ W $ adalah kerja .

Perhatikan bagaimanapun bahawa haba tidak ditakrifkan untuk keadaan sistem tetapi anda perlu mengetahui proses (laluan) yang mana anda telah mencapai keadaan sekarang. Itu hanya mengatakan perubahan $ \ delta Q $ ditakrifkan dalam (1) dan bukan $ Q $ itu sendiri.

  • dalam undang-undang kedua, suhu (mutlak) $ T $ ditakrifkan sebagai faktor penyepadukan yang menjadikan $ \ delta Q $ menjadi jumlah pembezaan $ dS $. Dalam istilah yang lebih fizikal, ia adalah faktor yang membuat $ \ delta Q $ suatu kuantiti $ S $ yang hanya bergantung kepada keadaan sistem $$ dS = \ frac {\ delta Q} {T}. \ tag {2} $$

Melalui (2) suhu ditakrifkan sehingga pemalar berlipat ganda. Pemalar ini biasanya ditakrifkan (melalui pemalar Boltzmann) sedemikian rupa sehingga terdapat 100 unit antara suhu beku dan mendidih air pada tekanan ambien.

Edit:

Terima kasih kepada Valter Moretti Saya telah menduga bahawa anda perlu menambah syarat tersebut kepada (2) bahawa $ S $ harus luas.


user121330 06/05/2017.

Matematik:

$$ T = \ frac {\ partial U} {\ partial S} _ {V, N} $$

Suhu ialah perubahan dalam tenaga dalaman sehubungan dengan entropi apabila memegang jumlah dan pemalar nombor.

Plain English: Suhu adalah ukuran tenaga bebas dalam objek. Objek yang berbeza mempunyai keupayaan yang berlainan untuk memegang tenaga. Contohnya, pada suhu bilik, ammonia boleh memegang kira-kira 10 kali tenaga sebagai argon gas (setiap gram). Lebih rumit lagi, kapasiti bahan untuk menampung perubahan tenaga bebas dengan suhu. Daripada sekadar melaporkan tenaga bebas dalam objek, suhu melaporkan tenaga bebas dinormalkan kepada berapa banyak kapasiti objek yang ada pada suhu itu. Semua ini membawa kita kembali kepada definisi yang terasa sangat pekeliling dan tidak menjelaskan banyak konteks:

Heuristik: suhu adalah kualiti perkara yang sama apabila objek dalam hubungan mencapai keseimbangan terma.

Semakan mekanikal: Anda pernah mendengar mengenai pergerakan molekul dalam gas dan atom-atom yang menggerut dalam pepejal, dan itulah cara untuk memahami sesuatu, tetapi ada juga fonon dan fonon (matematik) yang memberikan suhu suhu. Ternyata kita tahu suhu matahari bukan kerana kita menghantar termometer, tetapi kerana ia memancarkan foton sama seperti yang lain, dan pengagihan frekuensi lampu keluar konsisten dengan permukaan matahari yang berada di sekitar 5800K. Kami juga tahu bahawa kebanyakan ruang mempunyai suhu konsisten kira-kira 3K kerana harta yang sama.

Editorial: Tenaga pergi dari objek ke objek dan taip untuk mengetik sepanjang masa. Tenaga adalah konsep abstrak yang menghubungkan setiap sains fizikal (dan menerangkan beratus-ratus bentuk tenaga), jadi kita tidak boleh mengharapkan derivatif berkenaan dengan Entropy sebagai satu fenomena. Terus meneroka.


OrangeSherbet 03/06/2018.

Apakah suhu? Terdapat jawapan matematik yang sangat formal untuk soalan ini. Walau bagaimanapun, jawapan yang paling baik yang saya hadapi dalam enam tahun pendidikan fizik saya adalah dalam kursus termodinamik asal saya tahun kedua saya, dalam Thermal Physics Schroeder , halaman 85-91. Walau bagaimanapun, pemahaman saya telah berkembang dengan pendedahan kepada teori kebarangkalian dan maklumat.

Apa-apa pemahaman tentang suhu yang dikehendaki untuk diperoleh secara asasnya terhad oleh pemahaman mereka tentang entropi apa.

Keadaan sistem adalah segala-galanya yang mungkin dapat diketahui secara serentak tentang sistem (yang dibatasi oleh mekanik kuantum). Sebaik sahaja anda tahu segala-galanya yang perlu diketahui tentang sistem , anda telah menentukan keadaannya.

Entropy bersamaan dengan jumlah yang expected dari soalan yes / no yang diperlukan untuk menentukan keadaan sistem . Sila ambil perhatian perkataan "dijangka" (yang bermaksud purata), dan perkataan "minimally" (yang bermaksud bertanya soalan best mungkin anda boleh).

Anda mungkin tidak pernah mendengar takrif entropi ini, tetapi definisi ini benar-benar betul, kecuali dalam fizik kami mengalikan nombor ini dengan $ k_b ln (2) $ (nombor) semata-mata kerana sebab sejarah. Oleh itu, apabila anda membaca entropy , anda harus cuba memikirkan expected number of yes/no questions . Ini tidak salah, ia sangat intuitif, dan ia sangat berguna.

Ada satu undang-undang yang mudah mengatakan jumlah yang dijangkakan ya / tidak soalan yang diperlukan untuk menentukan keadaan sistem yang tertutup tidak boleh berkurang . Ini dikenali sebagai Hukum Termodinamik Kedua. Ia adalah undang-undang yang keren. Dan apabila entropi ditakrifkan sebagai bilangan soalan yang expected , itu adalah undang-undang yang tepat yang always dipegang. Ia juga memegang Demon Maxwell.

Bilangan soalan yang dijangka untuk menentukan keadaan sistem tertutup pastinya akan increase . Dan sudah pasti, sehingga ia mencapai had. Sistem yang telah melanda "had tidak diketahui" ini menduduki setiap keadaan yang mungkin dengan kebarangkalian yang sama, dan saya panggil sistem ini ergodic . Ini always berlaku jika anda menunggu cukup lama, terima kasih kepada IMO kepada matematik rantai markov (setiap sistem tertutup semestinya rantai markov yang tidak dapat dibuktikan, yang mendekati pengedaran pegun). Ini dipanggil ergodic hypothesis dalam fizik.

Pertimbangkan dua sistem ergodik, satu suhu tinggi dan satu suhu rendah.

Apabila sistem mempunyai suhu yang tinggi, ini bermakna bahawa perubahan kecil dalam tenaga sistem menyebabkan perubahan besar dalam entropi sistem (sebenarnya, ini adalah takrif suhu). Berfikir tentang entropi sebagai jumlah yang dijangkakan dari soalan ya / tidak, ini bermakna anda akan perlu bertanya lebih banyak soalan untuk menentukan keadaan sistem jika anda menambah sedikit tenaga.

Apabila sistem mempunyai suhu yang rendah, ia bermakna bahawa perubahan kecil dalam tenaga sistem tidak mengubah entropi sistem dengan sangat banyak. Anda tidak perlu bertanya lebih banyak soalan untuk menentukan keadaan sistem jika ia mempunyai sedikit tenaga.

Sekarang pertimbangkan sistem gabungan, ditutup dari seluruh alam semesta. Undang-undang ke-3 meletakkan sekatan ke atas jumlah yang dijangkakan ya / tidak ada soalan untuk menentukan keadaan sistem gabungan. Pertimbangkan apa yang berlaku jika sistem boleh menukar tenaga (dan hanya tenaga!).

Jika tenaga tidak ditukar antara suhu rendah dan sistem suhu tinggi, maka jumlah soalan yang dijangkakan untuk seluruh sistem $ N_ {1 + 2} $ adalah jumlah jumlah soalan yang dijangkakan untuk setiap subsistem: $ N_ { 1 + 2} = N_1 + N_2 $.

Walau bagaimanapun, apa yang berlaku jika kedua-dua subsistem itu boleh dan melakukan pertukaran tenaga? Undang-undang Ketiga mengatakan bahawa, apa saja yang berlaku, bilangan soalan yang diharapkan untuk menentukan keadaan sistem gabungan tidak dapat decrease .

If anda tahu bahawa lebih banyak tenaga mengalir dari sistem suhu tinggi ke sistem suhu rendah (yang tentunya dapat, tenaga mengalir secara rawak), anda tahu dari definisi suhu bahawa bilangan soalan yang diperlukan untuk menentukan keadaan sistem gabungan itu menurun, dalam pelanggaran yang jelas Hukum 2: $ N_ {1 + 2} <N_1 + N_2 $. Walau bagaimanapun, pengetahuan tentang "aliran tenaga ke belakang" tidak dapat diperoleh tanpa meminta beberapa soalan $ N_q $ dari sistem: nombor yang tepat yang diperlukan oleh Undang-undang ke-2 $ N_ {1 + 2} \ geq N_1 + N_2 + N_q $ .

Sebaliknya, jika semua yang anda ketahui ialah pertukaran tenaga yang berlaku dalam sistem gabungan ini, dari hipotesis ergodik, jumlah yang dijangkakan soalan yang anda perlu tanya hanya meningkat, mendekati batas ergodik dengan cepat. Ini requires tenaga mengalir secara purata (secara rawak) dari benda panas kepada benda yang sejuk. Dan batas ergodic adalah apabila perkara panas dan benda sejuk adalah suhu yang sama.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags