Apakah "tekanan pada titik" definisi yang tepat?

adiselann 01/03/2017. 2 answers, 351 views
fluid-dynamics pressure definition fluid-statics

Saya membaca Mekanik Fluida Landau dan pada halaman pertama ditakrifkan tekanan pada setiap titik dan setiap masa: $ p = p (x, y, z, t) $. Di sini setiap "titik" $ (x, y, z) $ benar-benar suatu jumlah pembezaan kecil $ dV $ misalnya kotak kecil segi empat dimensi $ dx $, $ dy $, $ dz $ ($ dV = dx dy dz $) , yang mengandungi banyak zarah.

Tekanan ini $ p $, sebagai fungsi, mempunyai harta yang $ \ oint_S p \ dS $ adalah jumlah kekuatan luaran di mana-mana permukaan $ S $, ini menunjukkan bahawa tekanan ditakrifkan sebagai jumlah kekuatan luaran di permukaan permukaan Jumlah kecil dV membahagikan nilai permukaannya. Sebagai contoh, jika kita memohon kuasa kepada setiap wajah kotak dimensi $ a, b, c $:

kotak kecil dan kuasa

Kemudian tekanan di atas kotak ini ialah: \ begin {equation} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + } {2ab + 2bc + 2ca} \ end {equation}

Sebagai contoh, jika saya mempunyai kotak dimensi besar $ L $, $ 2L $, $ 2L $, dan di atas kotak ini adalah kuasa luar $ F_x $, $ F_y $, $ F_z $ cuba untuk memampatkan kotak ini, dan kotak tidak bergerak, maka jumlah kekuatan luar yang digunakan pada kotak adalah $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Katakan bahawa daya diagihkan secara seragam ke atas muka.

masukkan keterangan imej di sini

Sekarang mari kita kirakan integral tekanan ke atas permukaan kotak ini (ia mestilah $ 2 (F_x + F_y + F_z) $). Untuk melakukan ini, kita boleh membahagikan kotak dalam kiub kecil jilid $ L ^ 3 / n ^ 3 $. Kekuatan ke atas setiap dua muka ortogonal ke paksi $ x $ ialah $ F_x / 4n ^ 2 $, dan daya di atas muka ortogonal ke paksi y $ adalah $ F_y / 2n ^ 2 $, muka ortogonal ke paksi $ z $ adalah $ F_z / 2n ^ 2 $.

Kemudian tekanan ke atas setiap kiub kecil daripada jumlah $ L ^ 3 / n ^ 3 $ adalah: \ begin {persamaan} p_0 = \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} + \ frac {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ end {equation}

Mengabaikan tepi dan simpang, kita boleh menganggarkan integral permukaan tekanan yang mengambil jumlah kiub kecil di permukaan tetapi tepi, dan mengalikannya dengan $ p_0 $. Terdapat kiub $ (2n-2) ^ 2 $ seperti pada kedua-dua muka dengan permukaan $ 4L ^ 2 $, dan $ (2n-2) (n-2) $ pada setiap satu daripada empat permukaan muka yang tinggal $ 2L ^ 2 $. Biarkan $ S $ menjadi permukaan kotak besar. Biarkan $ \ Delta S $ menjadi permukaan wajah kiub kecil ($ \ Delta S = L ^ 2 / n ^ 2 $).

(n-2) ^ 2 + 4 2) ^ 2 + 4 (2n-2) (n-2) \ right) \ frac {2 \ left (\ frac {F_x} {4n ^ 2} + \ frac {F_y} {2n ^ 2} {F_z} {2n ^ 2} \ right)} {6 L ^ 2 / n ^ 2} \ frac {L ^ 2} {n ^ 2} = \ frac {4} {3} 8n + 5} {n ^ 2} \ left (\ frac {F_x} {4} + \ frac {F_y} {2} + \ frac {F_z}

Mengambil had sebagai $ n \ rightarrow \ infty $, dan mengingati bahawa pinggingan boleh diabaikan untuk integrasi permukaan:

\ begin {persamaan} \ oint_S p \ dS = F_x + 2F_y + 2F_z \ end {equation}

Tetapi ini tidak betul, kerana daya di permukaan adalah $ 2 (F_x + F_y + F_z) $. Saya tidak faham apa yang salah. Adakah definisi tekanan? Atau adakah integrasi itu?

2 Answers


Fábio Ribeiro 01/04/2017.

Dalam buku ini dinyatakan bahawa kuantiti $ - \ oint p \ mathrm d \ mathbf f $ adalah jumlah kekuatan. Jika anda perhatikan $ \ mathrm d \ mathbf f $ dalam huruf tebal anda dapat melihat ia vektor dan pada asasnya bermakna bahawa integral dilakukan komponen oleh komponen supaya pengiraan anda tidak terpakai. Contohnya: $$ \ int p_ {x +} dS = \ int \ frac {F_ {x +}} {bc} dS = F_ {x +} \ int \ frac { $ dan sebagainya untuk komponen lain. Dalam contoh ini dS bukan vektor. Seperti yang anda dapat lihat, anda sentiasa mengambil komponen asal.

Adapun definisi yang tepat adalah pemalar kekompadankan antara vektor $ \ mathrm d \ mathbf F_n $, komponen normal $ \ mathrm d \ mathbf F $ di permukaan, dan $ \ mathrm d \ mathbf S $. Perhatikan bahawa ia ditentukan secara infinitesimally kerana vektor ini secara amnya adalah fungsi kedudukan.


Farcher 01/03/2017.

Masalah anda bermula apabila anda mula merawat kekuatan dan kawasan sebagai skalar.

Kemudian tekanan ke atas kotak ini ialah:

\ begin {persamaan} p = \ frac {F_ {x +} + F_ {x -} + F_ {y +} + F_ {y -} + F_ {z +} + \ end {equation}

tidak betul.

Anda perlu menggunakan bentuk vektor persamaan yang memberi anda daya di kawasan seperti yang diterangkan dalam artikel Wikipedia mengenai Tekanan .

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags