Tekanan dalam tensor tekanan?

Quantum spaghettification 10/15/2016. 2 answers, 527 views
fluid-dynamics pressure definition stress-energy-momentum-tensor stress-strain

Tekanan tensor boleh ditulis sebagai: $$ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} + \ sigma '_ {ij} \ label {1} ​​\ tag {1} $$ di mana $ \ sigma_ {ij} '$ dipanggil tensor tekanan tambahan.

Dari apa yang saya fahami, tekanan adalah tekanan yang berkuat kuasa bagi satu unit kawasan, supaya daya yang bertindak pada permukaan $ d \ vec A $ diberikan oleh: $$ \ vec F = -pd \ vec A \ label {2} \ tag { 2} $$ (Ini mempunyai kesan bahawa daya pada permukaan nipis yang tidak terhad disebabkan oleh tekanan berterusan adalah sifar). Walau bagaimanapun, $ \ sigma_ {ij} $ mewakili daya dalam arah $ i $ pada permukaan dengan normal dalam arah $ \ hat e_j $. Jadi daya yang bertindak pada permukaan $ d \ vec A $ mestilah: $$ F_i = \ sigma_ {ij} dA_j \ label {3} \ tag {3} $$ Persamaan (2) dan (3) (walaupun kita lihat soley pada daya dalam arah $ d \ vec A $ mereka tidak bersetuju). Oleh itu, persoalan saya ialah makna sebenar tekanan dalam ungkapan (1) dan mengapa kita tidak mempunyai: $$ \ sigma_ {ii} = - p $$

2 Answers


Sanya 10/15/2016.

Di dalam kerangka biasa mekanik kontinyu, diandaikan bahawa terdapat dua jenis kuasa: kekuatan tubuh dan kekuatan permukaan. Yang terakhir ini boleh ditunjukkan sebagai representasi oleh tensor $ \ textbf {T} $, tensor tekanan Cauchy. Tensor ini menghasilkan tekanan tempatan pada permukaan oleh: $$ \ vec F = \ textbf {T} d \ vec A $$ Kita kemudian boleh menguraikan tensor tekanan Cauchy ke dalam sumbangan tekanan isotropik dan sumbangan tekanan (yang kita perlukan secara konstitutif persamaan untuk): $$ \ textbf {T} = \ tau -p \ textbf {1} $$ Jadi persamaan anda (3) betul. Persamaan anda (2) memberi anda sumbangan kepada kekuatan pada permukaan tetapi bukan jumlah kekuatan.


Deep 10/15/2016.

Dalam mekanik bendalir, tegasan tensor $ \ sigma_ {ij} $ adalah kuantiti utama. Tekanan ditakrifkan melalui persamaan (1) yang disebut dalam soalan anda. Jelas, $ -p \ equiv \ frac {1} {3} \ sigma_ {ii} $ ($ \ sigma '_ {ij} $ tidak dapat dikesan dengan definisi). Dengan kata lain, tekanan ditakrifkan sebagai purata tekanan normal pada tiga pesawat ortogonal melalui titik di mana tensor tekanan dikira. Tekanan ditakrifkan dengan cara ini dikenali sebagai tekanan mekanikal. Apabila ditafsirkan dengan cara ini persamaan (2) yang disebutkan dalam soalan anda menjadi tidak sah secara umum. Persamaan (3) yang disebut dalam soalan anda adalah formula yang betul untuk mengira kuasa bersih pada elemen bendalir ke arah $ i $.

Sebenarnya, persamaan (2) yang disebutkan dalam soalan anda hanya berlaku dalam statistik bendalir, kerana kemudian $ \ sigma '_ {ij} = 0 $, dan sebagainya $ \ sigma_ {ij} = - p \ delta_ {ij} $, yang bermaksud bahawa tekanan normal adalah sama dalam semua arah dan oleh itu persamaan (2) menjadi tidak jelas. Walau bagaimanapun orang menyamakan nilai purata ini kepada tekanan termodinamik apabila memohon hubungan dari termodinamik keseimbangan ke aliran. Jika perkiraan ini dibuat, maka dalam persamaan tersebut (2) boleh digunakan untuk mengalir. Sebagai contoh, jika belon sedang dinaikkan, aliran di dalam belon akan menjadi rumit. Walau bagaimanapun jika suhu di dalam belon itu seragam, dan jika persamaan gas yang sesuai digunakan, anda boleh mengira (termodinamik) tekanan di dalam dinding belon, dan berpura-pura seolah-olah ini juga tekanan yang muncul dalam persamaan Navier-Stokes (iaitu tekanan yang ditentukan oleh persamaan (1)).

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags