Jumlah produk nombor Fibonacci dan nilai gabungan.

Daniel Nguyen 08/21/2017. 3 answers, 131 views
combinations fibonacci-numbers

Saya seorang guru sekolah tinggi dan pelajar terpaksa melihat corak yang saya ada di bawah tetapi mereka tidak perlu membuktikannya. Bagaimanapun, seorang pelajar yang berani meminta saya untuk membuktikannya dan saya tersekat. Saya menjelajah internet tetapi saya tidak dapat mencari sebarang bantuan. Tolong bantu saya bermula! Identiti adalah di bawah. F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, ..., F n = n Fibonacci nombor.

( n C 0 ) (F k ) + ( n C 1 ) (F k + 1 ) + ( n C 2 ) (F k + 2 ) + ... + ( n C n ) (F k + n ) F k + 2n

1 Comments
user451844 08/21/2017
pemikiran pertama saya adalah bagaimana barisan segmen pascals segitiga kepada $ 2 ^ n $ pada baris n.

3 Answers


Robert Israel 08/21/2017.

Jika $ M $ adalah matriks $ \ pmatrix {1 & 1 \ cr 1 & 0 \ cr} $, kami mempunyai $ M ^ n = \ pmatrix {F_ {n + 1} & F_n \ cr F_n & 1}} $ (terkenal dan mudah dibuktikan oleh induksi). Kemudian menggunakan teorem binomial dan fakta bahawa $ M + I = M ^ 2 $, $$ \ sum_ {j = 0} ^ n {} _nC_j M ^ {k + j} = M ^ k (M + I) n = M ^ {k + 2n} $$ dan identiti anda mengikuti dengan mengambil unsur matriks.

Lebih prosaikal, anda boleh membuktikan identiti anda dengan induksi, menggunakan fakta bahawa $ {} _ {n + 1} C_j = {} _nC_ {j-1} + {} _nC_ {j} $.

1 comments
ntntnt 08/21/2017
Itu agak keren.

achille hui 08/21/2017.

Formula Recall Binet untuk nombor Fibonacci:

$$ F_n = \ frac {\ alpha ^ n - \ beta ^ n} {\ sqrt {5}} \ quad \ text {where} \ quad \ alpha = \ frac {1+ \ sqrt {5} , \ beta = \ frac {1- \ sqrt {5}} {2} $$ Menggunakan teorem Binomial dan notis $ \ alpha, \ beta $ adalah akar persamaan $ \ lambda ^ 2 = \ lambda + 1 $, mempunyai $$ \ begin {align} \ sum_ {s = 0} ^ n \ binom {n} {s} F_ {k + s} & = \ frac {1} {\ sqrt {5} ^ k \ left (\ sum_ {s = 0} ^ n \ binom {n} {s} \ alpha ^ s \ right) - \ beta ^ k \ left (\ sum_ {s = 0} ^ n \ binom {n } {s} \ beta ^ s \ right) \ right] \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left [\ alpha ^ k (\ alpha + 1) ^ n - \ beta ^ (\ beta + 1) ^ n \ right] \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left [\ alpha ^ {k + 2n} \\ & = F_ {k + 2n} \ end {align} $$


Lucian 08/22/2017.

Hint : Gunakan dua hubungan rekursif yang terkenal $ ~ F_ {i + 1} ~ = ~ F_i ~ + ~ F_ {i-1} ~ $ dan $ ~ C_ {n + 1} ^ {k + 1} ~ = ~ C_n ^ k ~ + ~ C_n ^ {k + 1} $

untuk akhirnya menubuhkan bukti oleh induksi , seperti berikut:

$$ ~ \\\ begin {align} F_m ~ & = ~ F_ {m-1} ~ + ~ F_ {m-2} ~ & = ~ C_1 ^ 0 ~ F_ {m-1} ~ + ~ C_1 ^ 1 ~ F_ {m-2} \ qquad \ qquad \ quad ~ \\\\ ~ & = ~ \ Big (F_ {m-2} ~ + ~ F_ {m-3} \ Big) ~ + ~ \ Big (F_ {m-3} ~ + ~ F_ {m-4} \ Big) ~ & = ~ C_2 ^ 0 ~ F_ {m-2} ~ + ~ C_2 ^ 1 ~ F_ {m-3} ~ + ~ C_2 ^ ~ F_ {m-4} \\\\ ~ & = ~ \ ldots ~ & = ~ \ ldots \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ end {align}

Bolehkah anda mengambilnya dari sini? ...


HighResolutionMusic.com - Download Hi-Res Songs

1 Martin Garrix

Yottabyte flac

Martin Garrix. 2018. Writer: Martin Garrix.
2 Alan Walker

Diamond Heart flac

Alan Walker. 2018. Writer: Alan Walker;Sophia Somajo;Mood Melodies;James Njie;Thomas Troelsen;Kristoffer Haugan;Edvard Normann;Anders Froen;Gunnar Greve;Yann Bargain;Victor Verpillat;Fredrik Borch Olsen.
3 Sia

I'm Still Here flac

Sia. 2018. Writer: Sia.
4 Blinders

Breach (Walk Alone) flac

Blinders. 2018. Writer: Dewain Whitmore;Ilsey Juber;Blinders;Martin Garrix.
5 Dyro

Latency flac

Dyro. 2018. Writer: Martin Garrix;Dyro.
6 Cardi B

Taki Taki flac

Cardi B. 2018. Writer: Bava;Juan Vasquez;Vicente Saavedra;Jordan Thorpe;DJ Snake;Ozuna;Cardi B;Selena Gomez.
7 Bradley Cooper

Shallow flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Andrew Wyatt;Anthony Rossomando;Mark Ronson;Lady Gaga.
8 Halsey

Without Me flac

Halsey. 2018. Writer: Halsey;Delacey;Louis Bell;Amy Allen;Justin Timberlake;Timbaland;Scott Storch.
9 Lady Gaga

I'll Never Love Again flac

Lady Gaga. 2018. Writer: Benjamin Rice;Lady Gaga.
10 Kelsea Ballerini

This Feeling flac

Kelsea Ballerini. 2018. Writer: Andrew Taggart;Alex Pall;Emily Warren.
11 Mako

Rise flac

Mako. 2018. Writer: Riot Music Team;Mako;Justin Tranter.
12 Dewain Whitmore

Burn Out flac

Dewain Whitmore. 2018. Writer: Dewain Whitmore;Ilsey Juber;Emilio Behr;Martijn Garritsen.
13 Bradley Cooper

Always Remember Us This Way flac

Bradley Cooper. 2018. Writer: Lady Gaga;Dave Cobb.
14 Little Mix

Woman Like Me flac

Little Mix. 2018. Writer: Nicki Minaj;Steve Mac;Ed Sheeran;Jess Glynne.
15 Charli XCX

1999 flac

Charli XCX. 2018. Writer: Charli XCX;Troye Sivan;Leland;Oscar Holter;Noonie Bao.
16 Rita Ora

Let You Love Me flac

Rita Ora. 2018. Writer: Rita Ora.
17 Diplo

Electricity flac

Diplo. 2018. Writer: Diplo;Mark Ronson;Picard Brothers;Wynter Gordon;Romy Madley Croft;Florence Welch.
18 Jonas Blue

Polaroid flac

Jonas Blue. 2018. Writer: Jonas Blue;Liam Payne;Lennon Stella.
19 Lady Gaga

Look What I Found flac

Lady Gaga. 2018. Writer: DJ White Shadow;Nick Monson;Mark Nilan Jr;Lady Gaga.
20 Avril Lavigne

Head Above Water flac

Avril Lavigne. 2018. Writer: Stephan Moccio;Travis Clark;Avril Lavigne.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags