Jumlah produk nombor Fibonacci dan nilai gabungan.

Daniel Nguyen 08/21/2017. 3 answers, 131 views
combinations fibonacci-numbers

Saya seorang guru sekolah tinggi dan pelajar terpaksa melihat corak yang saya ada di bawah tetapi mereka tidak perlu membuktikannya. Bagaimanapun, seorang pelajar yang berani meminta saya untuk membuktikannya dan saya tersekat. Saya menjelajah internet tetapi saya tidak dapat mencari sebarang bantuan. Tolong bantu saya bermula! Identiti adalah di bawah. F 0 = 0, F 1 = 1, F 2 = 1, F 3 = 2, ..., F n = n Fibonacci nombor.

( n C 0 ) (F k ) + ( n C 1 ) (F k + 1 ) + ( n C 2 ) (F k + 2 ) + ... + ( n C n ) (F k + n ) F k + 2n

1 Comments
user451844 08/21/2017
pemikiran pertama saya adalah bagaimana barisan segmen pascals segitiga kepada $ 2 ^ n $ pada baris n.

3 Answers


Robert Israel 08/21/2017.

Jika $ M $ adalah matriks $ \ pmatrix {1 & 1 \ cr 1 & 0 \ cr} $, kami mempunyai $ M ^ n = \ pmatrix {F_ {n + 1} & F_n \ cr F_n & 1}} $ (terkenal dan mudah dibuktikan oleh induksi). Kemudian menggunakan teorem binomial dan fakta bahawa $ M + I = M ^ 2 $, $$ \ sum_ {j = 0} ^ n {} _nC_j M ^ {k + j} = M ^ k (M + I) n = M ^ {k + 2n} $$ dan identiti anda mengikuti dengan mengambil unsur matriks.

Lebih prosaikal, anda boleh membuktikan identiti anda dengan induksi, menggunakan fakta bahawa $ {} _ {n + 1} C_j = {} _nC_ {j-1} + {} _nC_ {j} $.

1 comments
ntntnt 08/21/2017
Itu agak keren.

achille hui 08/21/2017.

Formula Recall Binet untuk nombor Fibonacci:

$$ F_n = \ frac {\ alpha ^ n - \ beta ^ n} {\ sqrt {5}} \ quad \ text {where} \ quad \ alpha = \ frac {1+ \ sqrt {5} , \ beta = \ frac {1- \ sqrt {5}} {2} $$ Menggunakan teorem Binomial dan notis $ \ alpha, \ beta $ adalah akar persamaan $ \ lambda ^ 2 = \ lambda + 1 $, mempunyai $$ \ begin {align} \ sum_ {s = 0} ^ n \ binom {n} {s} F_ {k + s} & = \ frac {1} {\ sqrt {5} ^ k \ left (\ sum_ {s = 0} ^ n \ binom {n} {s} \ alpha ^ s \ right) - \ beta ^ k \ left (\ sum_ {s = 0} ^ n \ binom {n } {s} \ beta ^ s \ right) \ right] \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left [\ alpha ^ k (\ alpha + 1) ^ n - \ beta ^ (\ beta + 1) ^ n \ right] \\ & = \ frac {1} {\ sqrt {5}} \ left [\ alpha ^ {k + 2n} \\ & = F_ {k + 2n} \ end {align} $$


Lucian 08/22/2017.

Hint : Gunakan dua hubungan rekursif yang terkenal $ ~ F_ {i + 1} ~ = ~ F_i ~ + ~ F_ {i-1} ~ $ dan $ ~ C_ {n + 1} ^ {k + 1} ~ = ~ C_n ^ k ~ + ~ C_n ^ {k + 1} $

untuk akhirnya menubuhkan bukti oleh induksi , seperti berikut:

$$ ~ \\\ begin {align} F_m ~ & = ~ F_ {m-1} ~ + ~ F_ {m-2} ~ & = ~ C_1 ^ 0 ~ F_ {m-1} ~ + ~ C_1 ^ 1 ~ F_ {m-2} \ qquad \ qquad \ quad ~ \\\\ ~ & = ~ \ Big (F_ {m-2} ~ + ~ F_ {m-3} \ Big) ~ + ~ \ Big (F_ {m-3} ~ + ~ F_ {m-4} \ Big) ~ & = ~ C_2 ^ 0 ~ F_ {m-2} ~ + ~ C_2 ^ 1 ~ F_ {m-3} ~ + ~ C_2 ^ ~ F_ {m-4} \\\\ ~ & = ~ \ ldots ~ & = ~ \ ldots \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ quad \ end {align}

Bolehkah anda mengambilnya dari sini? ...

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags