Mencari Had daripada Integral: $ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx $

Parisina 09/06/2017. 3 answers, 485 views
integration analysis limits continuity uniform-convergence

Katakan $ f: [a, b] \ to \ mathbb {R} $ berterusan. Tentukan jika had berikut wujud

$$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_a ^ bf (x) \ sin ^ 3 {(nx)} \: dx. $$

Sebagai $ f (x) $ dan $ \ sin ^ 3 {(nx)} $ berterusan, jadi produk mereka adalah Riemann yang boleh diamanahkan. Walau bagaimanapun $ \ lim_ {n \ to \ infty} f (x) \ sin ^ 3 {(nx)} $ tidak wujud, jadi ia tidak seragam penumpuan dan kita tidak boleh lulus had dalam integral. Ia juga tidak memuaskan dalam keadaan Teorema Dini. Saya tidak tahu bagaimana untuk membuat hujah yang sah untuk masalah ini, tetapi saya fikir dengan apa yang saya katakan had tidak wujud. Saya menghargai sebarang bantuan.

3 Answers


Robert Israel 07/31/2017.

Riemann-Lebesgue lemma . Perhatikan bahawa $ \ sin ^ 3 (nx) = \ frac {3} {4} \ sin (nx) - \ frac {1} {4} \ sin (3nx) $.

2 comments
Parisina 07/31/2017
Terima kasih, saya fikir, saya boleh melengkapkannya sekarang
Teepeemm 07/31/2017
Itu nampaknya lebih maju daripada masalah yang dipanggil.

Sangchul Lee 07/31/2017.

Cara yang sedikit berbeza untuk menyelesaikannya ialah dengan menggunakan pemerhatian berikut.

Proposition. Jika $ f: [a, b] \ ke \ mathbb {R} $ berterusan, $ g: \ mathbb {R} \ ke \ mathbb {R} $ berterusan dan $ L $ -periodic,

$ \ lim_ {n \ to \ infty} \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx = \ left (\ int_ {a} dx \ right) \ left (\ frac {1} {L} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \ right). $$

  1. Dengan mengandaikan pernyataan ini, jawapan berikut segera setelah $ x \ mapsto \ sin ^ 3x $ adalah $ 2 \ pi $ -periodic dan

    $$ \ int_ {0} ^ {2 \ pi} \ sin ^ 3 x \, dx = 0. $$

  2. Intuisi sangat jelas: Jika $ n $ sangat besar, maka pada subinterval $ [c, c \ \ frac {L} {n}] \ subset [a, b] $ kita ada

    $$ \ int_ {c} ^ {c + \ frac {L} {n}} f (x) g (nx) \, dx \ approx f (c) \ int_ {c} n}} g (nx) \, dx = f (c) \ cdot \ frac {1} {n} \ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx. $$

    Oleh itu, kita tidak akan memperhatikan butirannya

    $$ \ int_ {a} ^ {b} f (x) g (nx) \, dx \ approx \ left (\ sum_ {k = 1} ^ {\ lfloor n (ba) / L \ rfloor} f \ (a \ frac {kL} {n} \ right) \ frac {1} {n} \ right) \ left (\ int_ {0} ^ {L} g (x) \, dx \

    dan mengambil had sebagai $ n \ to \ infty $, sebelah kanan menumpu kepada nilai yang dikehendaki. Mengisi butiran adalah agak rutin.

  3. Anggapan tentang kesinambungan hanya merupakan persediaan teknikal untuk bukti mudah, dan anda boleh melonggarkannya ke darjah tertentu dengan membayar lebih banyak usaha.


Michael Hartley 07/31/2017.

Anda tidak dapat membuat kesimpulan $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} int_a ^ bg (x, n) dx $$ tidak wujud hanya kerana $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} g (x, ) $$ tidak. Contohnya, $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ sin (nx) $$ tidak wujud, tetapi $$ \ lim_ {n \ rightarrow \ infty} \ int_0 ^ \ pi \ sin (nx) dx = 0, $$ kerana integral adalah sifar untuk semua $ n $.

Saya khuatir kegunaan saya habis pada ketika ini, walaupun saya fikir ada had: anda harus, jika tidak ada yang lain, dapat mencari beberapa hujah epsilon-delta yang menyatakan integral sebagai jumlah sekumpulan integral pada selang panjang $ \ frac {2 \ pi} {n} $. Ini mungkin cara yang sangat buruk untuk menangani masalah ini.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags