Fungsi yang sentiasa kurang daripada derivatif mereka

Mike Brown 08/20/2017. 12 answers, 3.142 views
calculus integration differential-equations derivatives inequality

Saya tertanya-tanya jika ada fungsi yang mana $$ f '(x)> f (x) $$ untuk semua $ x $. Hanya contoh yang saya fikirkan adalah $ e ^ x - c $ dan hanya $ - c $ di mana $ c> 0 $. Juga, apakah terdapat sebarang kepentingan dalam fungsi yang selalu kurang daripada derivatifnya?


Edit: Terima kasih banyak untuk semua balasan. Nampaknya hampir semua fungsi yang digunakan adalah eksponen secara semula jadi ... Adakah terdapat lebih banyak contoh seperti - 1 / x?

Sekali lagi terdapat sebarang aplikasi / manifestasi fizikal fungsi-fungsi ini? [contohnya objek dengan halaju yang selalu lebih besar daripada kedudukan / pecutannya adalah lebih besar daripada halaju]

3 Comments
1 BallpointBen 07/28/2017
Di bahagian atas kepala saya, sebarang fungsi yang bertambah dan membosankan secara monoton di bahagian bawah satah.
1 Robin Saunders 07/29/2017
Jawapan Ixion memberikan penyelesaian yang paling umum (walaupun beberapa keluarga penyelesaian tertentu boleh ditulis dalam bentuk yang lebih baik), dan harus diterima.
Hamsteriffic 07/30/2017
+1! Tetapi sila tukar tajuk, menukar "nya" kepada "mereka". Cara tajuk ditulis, buat seketika ia kelihatan seperti anda sedang mempertimbangkan derivatif semua pesanan. Dan sekarang saya ingin tahu tentang soalan sampingan ini, haha!

12 Answers


Ixion 07/29/2017.

Jika $ y '(x)> y (x) \ quad \ forall x \ in \ mathbb {R} $ kita dapat menentukan $ f (x) = y' (x) -y (x) $ x $. Katakan bahawa $ y '(x) $ adalah fungsi berterusan supaya $ f (x) $ juga berterusan. Sekarang dengan elemen ini kita boleh membina persamaan kebezaan $$ y '(x) = y (x) + f (x) $$ dan penyelesaiannya diberikan oleh: $$ y (x) = e ^ {x} \ left (c + \ int_ {x_0} ^ {x} e ^ {- s} f (s) ds \ right) $$

Sekali lagi terdapat sebarang aplikasi / manifestasi fizikal fungsi-fungsi ini? [contohnya objek dengan halaju yang selalu lebih besar daripada kedudukan / pecutannya adalah lebih besar daripada halaju]

Saya tidak tahu jika terdapat permohonan untuk harta yang menarik ini, tetapi saya yakin bahawa anda tidak boleh membandingkan halaju dengan kedudukan kerana ia bukan kuantiti homogen.


Aidan Connelly 07/29/2017.

Dengan mengandaikan $ f (x)> 0 $, $ f: \ mathbb {R} \ mapsto \ mathbb {R} $

$ f '(x)> f (x) \ iff \ frac {d} {dx} \ ln (f (x))> 1 $

Jadi anda boleh menghidupkan sebarang fungsi $ g $ di mana $ g '(x)> 1 $ ke dalam jenis fungsi ini dengan mengambil eksponeninya:

$ \ frac {d} {dx} g (x)> 1 \ menerangkan \ frac {d} {dx} \ ln (e ^ {g (x) ^ {g (x)}> e ^ {g (x)} $

5 comments
6 Hagen von Eitzen 07/28/2017
Anda mengandaikan $ f (x)> 0 $ pada permulaannya
2 MPW 07/28/2017
@ HagenvonEitzen: Kemudian dia boleh menggunakan $ \ hat {f} (x) \ equiv e ^ {f (x)} $ sebagai titik permulaannya untuk sebarang $ f $ yang diberikan. Dengan cara itu seseorang sentiasa mempunyai $ \ hat {f} (x)> 0 $.
Robin Saunders 07/29/2017
Jawapan Ixion memberikan generalisasi penuh dengan membenarkan $ \ frac {df} {dx} - f (x) $ menjadi sebarang fungsi yang mana-mana sahaja-positif.
Adayah 07/29/2017
@RobinSaunders Tidak, dia menganggap kesinambungan $ f '(x) $.
Robin Saunders 07/29/2017
Saya cukup yakin keadaan itu tidak diperlukan.

Peter 07/28/2017.

Contoh mudah ialah $ f (x) = - x ^ 2-3 $


dromastyx 07/28/2017.

Masalah yang lebih menarik ialah untuk mencari fungsi $ f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} $, yang imejnya adalah $ \ mathbb {R} $ dan memenuhi $ f '(x)> f (x) untuk semua $ x \ in \ mathbb {R} $. Salah satu fungsinya ialah

$$ \ sinh (x), $$

kerana

$$ \ frac {d} {dx} \ sinh (x) = \ cosh (x)> \ sinh (x) $$ untuk semua $ x \ in \ mathbb {R} $.


M. Winter 07/28/2017.

Ambil $ f (x) = e ^ {\ alpha x} $. Kemudian untuk $ \ alpha> 1 $ kita mempunyai $ f '(x)> f (x) $ dan untuk $ \ alpha <1 $ kita mempunyai $ f' (x) <f (x) $.


steven gregory 07/28/2017.

Bagaimana pula jika anda melihatnya sebagai persamaan kebezaan. Katakanlah

$ y '= y + 1 $

yang mempunyai penyelesaian $ y = Ce ^ x -1 $

Atau $ y '= y + x ^ 2 + 1 $

yang mempunyai penyelesaian $ y = Ce ^ x - (x ^ 2 + 2x + 3) $

Atau $ y '= y + 2 \ sin x + 3 $

yang mempunyai penyelesaian $ y = Ce ^ x - \ sin x - \ cos x -3 $

3 comments
Robin Saunders 07/29/2017
Jawapan Ixion mengagihkan ini kepada $ y '(x) = y (x) + f (x) $ untuk mana-mana $ f (x)> 0 $.
steven gregory 07/29/2017
@RobinSaunders - haruskah saya memadamkan jawapan saya?
Robin Saunders 07/30/2017
Saya tidak banyak mengetahui tentang etika Stack Exchange, tetapi saya rasa akan jadi kerana anda menyiarkan jawapan anda terlebih dahulu dan ia mengandungi contoh-contoh tertentu yang tidak dalam jawapan yang lain, ia harus baik-baik saja untuk meninggalkannya.

Eric Towers 07/30/2017.

Contoh very mudah ialah $ f (x) = -1 <0 = f '(x) $. Terkait dengan pengeditan anda: ini tidak eksponen sama sekali.

Contoh lain yang tidak segera eksponen:

  • $ \ frac {- \ pi} {2} + \ arctan x $ ada di mana-mana di mana-mana dan di mana-mana sahaja dengan ketara monotonik meningkat, begitu juga di mana-mana kurang daripada derivatifnya.
  • $ -1 + \ mathrm {erf} (x) $ juga di mana-mana di mana-mana sahaja dan di mana-mana sahaja dengan ketara monotonik meningkat. (Ini adalah sangat serupa, kerana ia dipindahkan salinan CDFs (standard / dinormalkan) Cauchy dan distribusi Gaussian.)
  • $ \ frac {1} {2} \ left (x - \ sqrt {x ^ 2 + 4} \ right) $ adalah cawangan bawah hiperbola yang mempunyai $ x $ -axis dan baris $ y = x $ asymptotes. Ia di mana-mana di mana-mana dan di mana-mana sahaja dengan ketara monotonik meningkat.

Thiago Nascimento 07/28/2017.

Lihat, $ - \ frac {1} {x}, \ frac {1} {x ^ {2}} \ in \ [0, \ infty] $

1 comments
7 GEdgar 07/28/2017
Lebih umum, sebarang fungsi negatif dengan derivatif positif ...

Joshua Kidd 07/28/2017.

Satu lagi contoh mudah ialah $ f (x) = -e ^ {- x} $, $ f '(x) = e ^ {- x} $


Adayah 07/29/2017.

Ketidaksamaan $$ f '(x)> f (x) $$ bersamaan dengan $$ \ left [f (x) e ^ {- x} \ right]'> 0.

Oleh itu, penyelesaian umum adalah untuk mengambil sebarang fungsi yang berbeza-beza $ g (x) $ dengan $ g '(x)> 0 $ dan meletakkan $ f (x) = g (x) e ^ x $.

Perhatikan bahawa tiada apa-apa yang diandaikan tentang $ f $ kecuali kebergantungan, yang perlu untuk bertanya soalan di tempat pertama.


HelloGoodbye 07/30/2017.

Untuk setiap fungsi pembezaan $ f $ yang mana kedua-dua $ f (x) dan $ f '(x) $ dihadkan kepada julat terhingga, $ f' (x) - f (x) $ juga terhad kepada julat terhingga, jadi terdapat $ c $ yang mana $ f '(x) - f (x)> -c \ \ forall \ x $. Oleh itu, fungsi $ g (x) = f (x) - c $ boleh dibentuk dimana $ g '(x) - g (x) - c> -c \ \ forall \ x $ atau $ g' )> g (x) \ \ forall \ x $.

Sebagai contoh, ini memegang banyak fungsi berkala yang berbeza.

5 comments
1 Adayah 07/29/2017
Kenyataan terakhir adalah salah, kerana tidak semua fungsi berkala yang berbeza dapat dibatasi derivatif.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Anda betul. Saya sedang mempertimbangkan fungsi-fungsi berkala yang boleh dibezakan di setiap titik dalam $ \ mathbb {R} $, tetapi saya menyedari bahawa satu fungsi hanya perlu dibezakan di semua titik dalam domainnya untuk dianggap berbeza. Saya telah mengemas kini jawapan saya.
Adayah 07/30/2017
Maksud saya, fungsi $ f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} $ mungkin berkala dan berbeza di setiap titik $ a \ in \ mathbb {R} $ dan masih mempunyai derivatif tanpa had.
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Adakah anda mempunyai contoh fungsi sedemikian?
HelloGoodbye 07/30/2017
@Adayah Maksud saya, jika fungsi $ f $ boleh dibezakan di mana-mana, derivatif $ f '$ mesti wujud di mana-mana, dan $ f' $ mestilah berterusan (kerana jika ia mengandungi apa-apa kekurangan, $ f '$ tidak boleh wujud pada ketika itu ). Yang menjadikannya mustahil untuk $ f '$ tidak terkalahkan, bukan?

Henk Koppelaar 08/02/2017.

Mike menjawab soalan tambahan anda "Adakah terdapat contoh fizikal ini?" didayakan oleh dromastyx.

Contohnya menunjukkan fungsi hiperbolik yang menggambarkan dengan tepat fenomena fizikal 'soliton'.

Soliton adalah gelombang bersendirian seperti suar matahari, Tsunami dan sebagainya. Contoh mencari gelombang sedemikian yang tersembunyi dalam persamaan yang diketahui ialah:

http://rsos.royalsocietypublishing.org/content/2/7/140406.review-history

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags