Adakah kebanyakan ahli matematik tahu kebanyakan topik dalam matematik?

Sid Caroline 08/21/2017. 8 answers, 12.112 views
soft-question

Berapa banyak topik di luar pengkhususan beliau adalah biasa ahli matematik biasa?

Sebagai contoh, adakah purata teori kumpulan tahu cukup persamaan pembezaan separa untuk lulus ujian dalam kursus PDE peringkat siswazah?

Juga, apakah topik "mesti tahu" bagi mana-mana ahli matematik yang bercita-cita? Mengapa?

Sebagai pelajar siswazah, haruskah saya memberi tumpuan lebih banyak pada luasnya (memilih pelbagai kelas yang relatif tidak sepadan dengan sepadan, misalnya, teori kumpulan dan PDE) atau kedalaman (mis. Teori ukuran dan analisis fungsional)?

5 Comments
5 Mattos 07/27/2017
Jadi anda tahu, teori kumpulan digunakan dalam kajian persamaan pembezaan separa, kebanyakannya untuk mengeksploitasi sebarang simetri yang mungkin PDE.
53 Cauchy 07/27/2017
Tidak, ahli teori kumpulan rata-rata akan mendapat lemak $ 0 $ dalam kursus PDE peringkat siswazah (dia might telah mempelajari PDE pada satu ketika, tetapi dia pasti terlupa semuanya).
23 Cauchy 07/27/2017
Secara umum, kebanyakan ahli matematik mempunyai sedikit pendedahan kepada pelbagai topik supaya jika mereka memerlukan alat tertentu dari beberapa cawangan lain, mereka boleh (dengan cepat) menyapu bahan dan membaca kesusasteraan yang relevan.
1 owjburnham 07/27/2017
Saya mengesyaki bahawa ini mungkin negara tertentu, dan penandaan yang begitu bernilai? Saya (di UK) tidak pernah mengambil ujian tunggal sebagai pelajar siswazah (terima kasih kebaikan).
6 Robin Saunders 07/29/2017
@Myles, saya lebih sering mendengar bahawa Poincaré berkata.

8 Answers


P. Siehr 07/27/2017.

Soalan anda adalah falsafah dan bukannya matematik.

Seorang rakan saya memberitahu saya metafora / ilustrasi berikut sekali ketika saya seorang pelajar sarjana muda dan dia melakukan PhD. Dan sejak sekarang beberapa tahun telah berlalu, saya boleh mengaitkannya.

Sukar untuk menulisnya. Fikirkan tentang menggambar bulatan besar di udara, zum masuk, dan kemudian melukis bulatan yang besar sekali lagi.

Ini semua pengetahuan:

[--------------------------------------------] 

Semua pengetahuan mengandungi banyak, dan matematik hanya sebahagian kecil di dalamnya - ditandai dengan salib:

[---------------------------------------x----]
                                        |
Zooming in:
[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx] 

Penyelidikan matematik dibahagikan kepada banyak topik. Algebra, teori nombor, dan banyak lagi, tetapi juga matematik berangka. Itulah bahagian kecil di sini:

[xxxxxxxxxxxxxxxxxxxoxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx]
                    |                    
Zooming in:
[oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo] 

Matematik Berangka dibahagikan kepada beberapa topik juga, seperti numerik ODE, pengoptimuman dan lain-lain. Dan salah satunya ialah FEM-Theory for PDEs.

[oooooooooooooooooooρoooooooooooooooooooooooo]
                    | 

Dan itu adalah bahagian pengetahuan, di mana saya merasa selesa berkata "Saya tahu sedikit lebih daripada kebanyakan orang lain di dunia".
Kini selepas beberapa tahun, saya akan memperluas satu lagi langkah itu: Pengetahuan saya di bahagian itu agak seperti

[   ρ    ρρ  ρ         ρ   ρ          ρ     ρ] 

Saya masih hanya tahu "sedikit" mengenainya, kebanyakannya saya tidak tahu, dan kebanyakan daripada apa yang saya pelajari telah dilupakan.

(Sebenarnya FEM-Teori masih menjadi topik yang besar, yang mengandungi pelbagai jenis PDEs [elips, parabola, hiperbolik, yang lain], jadi anda boleh melakukan "zoom" beberapa kali lebih banyak.)


Satu lagi kebijaksanaan kecil ialah: Seseorang yang selesai sekolah berfikir dia tahu segala-galanya. Apabila dia mendapat ijazah sarjana, dia tahu bahawa dia tidak tahu apa-apa. Dan selepas PhD dia tahu bahawa semua orang di sekelilingnya tidak tahu apa-apa juga.


Minta fokus anda: IMO menggunakan beberapa tahun pertama untuk meneroka topik dalam matematik untuk mengetahui apa yang anda suka. Kemudian pergi lebih mendalam - jika anda mendapati apa yang anda suka.

Adakah terdapat topik "mesti tahu"? Terdapat asas-asas yang anda pelajari dalam beberapa istilah pertama. Tanpa mereka, sukar untuk "bercakap" dan "lakukan" matematik. Anda akan mempelajari alat yang anda perlukan untuk menggali lebih mendalam. Selepas itu berasa bebas untuk menikmati matematik :)
Jika tumpuan penyelidikan anda sebagai contoh pada numerik PDE (seperti yang saya adalah) tetapi anda juga suka matematik tulen - pergi ke hadapan dan mengambil kuliah. Adakah ia akan membantu anda? Mungkin, mungkin tidak. Tetapi pasti anda bersenang-senang memperoleh pengetahuan, dan itulah yang penting.

Jangan terlalu banyak berfikir tentang apa yang boleh disampaikan. Segala-galanya akan berubah baik-baik saja. Saya fikir kebanyakan ahli matematik akan bersetuju dengan kenyataan itu.

4 comments
46 Eff 07/27/2017
10 Mars 07/30/2017
Untuk rekod, saya seorang ahli falsafah profesional (Ph.D dalam falsafah, pekerjaan sebagai profesor, semua itu). Soo ... dalam pendapat profesional saya, soalan ini bukanlah falsafah. Ia empirikal. OP meminta maklumbalas empirikal mengenai ahli matematik. Cadangan P. Siehr adalah bahawa soalan itu dinyatakan tidak tepat atau berdasarkan andaian yang salah. Itu tidak membuat persoalan atau kemungkinan jawapannya falsafah. (fwiw Saya tidak bersetuju dengan P. Siehr bahawa soalan seperti yang dinyatakan tidak dapat dijawab, dan kenyataan saya tidak dimaksudkan sebagai sokongan untuk komen amWhy.)
3 Joonas Ilmavirta 08/01/2017
@Mars Perlu diingatkan bahawa "falsafah" dalam konteks matematik biasanya tidak merujuk kepada bidang falsafah sama sekali, tetapi kepada hampir semua pemikiran yang berkaitan dengan matematik atau terinspirasi di luar matematik yang ketat dan formal. (Saya harap ahli matematik yang menggunakan perkataan mengenali ini!) Saya bersetuju bahawa soalan itu bukanlah falsafah dalam pengertian sebenar perkataan, tetapi saya fikir ia adalah falsafah dalam erti kata yang digunakan oleh ramai ahli matematik.
Mars 08/09/2017
Ah, itu menarik @JoonasIlmavirta. Terima kasih.

Georges Elencwajg 07/27/2017.

Jawapan kepada soalan anda adalah mudah:
Tidak, matematikawan purata khusus dalam, katakan, geometri algebra tidak dapat lulus without preparation peperiksaan peringkat siswazah mengenai persamaan pembezaan separa.
Tunggu, ia lebih buruk daripada itu: dia tidak dapat lulus peperiksaan peringkat sarjana muda pada persamaan pembezaan separa.
Tunggu, ia lebih teruk lagi: dia tidak boleh lulus peperiksaan in algebraic geometry pada topik khusus yang berbeza dari dirinya sendiri. Sebagai contoh peperiksaan asas mengenai klasifikasi singulariti jika dia pakar dalam skema Hilbert.
Sebaliknya saya akan sangat terkejut sekiranya penganalisis terkenal yang baru-baru ini mendapat medan Fields dapat menyelesaikan latihan dalam, katakan, Bab 5 dari Curl Algebra Fulton, pengenalan standard untuk geometri algebraik sarjana.

Some remarks
1) Apa yang saya tulis adalah mudah untuk mengesahkan secara peribadi tetapi tidak mungkin untuk membuktikan secara terbuka:
Saya tidak dapat menulis dengan baik bahawa dalam perbualan baru-baru ini XXX, seorang ahli probabilis yang dihormati, dengan banyaknya membuktikan bahawa dia tidak tahu apa kumpulan asas bulatan itu.

2) Jika pengarang YYY menulis artikel mengenai persamaan pembezaan separa menggunakan teknik dari kumpulan yang dapat diterima, ini tidak menyiratkan bahawa pakar lain dalam bidangnya tahu teori mana-mana kumpulan.
Ia bahkan tidak membuktikan bahawa YYY tahu banyak tentang teori kumpulan: dia mungkin menyedari bahawa teori kumpulan terlibat dalam penyelidikannya dan menemubual ahli teori kumpulan yang akan memberitahunya tentang kumpulan yang boleh diterima.

3) Di sisi terang beberapa ahli matematik yang sangat luar biasa nampaknya banyak mengenali hampir setiap subjek dalam matematik: Atiyah, Deligne, Serre, Tao teringat.
Soal sedih saya adalah bahawa bilangan mereka adalah fungsi cenderung kepada sifar sebagai pas masa.
Dan walaupun saya tidak dapat menilai peperiksaan analisis, saya sedar apa ini bermakna untuk fungsi bernilai $ \ mathbb N $ ...

5 comments
11 Alfred Yerger 07/27/2017
Kami mempunyai beberapa orang di jabatan saya yang sekurang-kurangnya boleh memberi komen mengenai pelbagai subfields dalam disiplin yang luas. Beberapa geometer datang ke minda yang mempunyai sesuatu yang bijak untuk mengatakan tentang banyak bidang geometri. Mungkin tidak mungkin untuk mengetahui segala-galanya. Tetapi diharapkan ia masih mungkin untuk mengetahui banyak perkara tentang banyak perkara. Saya rasa itu mungkin cukup baik, kerana sekarang terdapat banyak lagi perkara yang perlu diketahui!
1 Santropedro 07/28/2017
Georges, Apabila anda berkata "Sebaliknya saya akan sangat terkejut jika seorang penganalisis terkenal yang baru-baru ini mendapat medan Fields dapat menyelesaikan latihan dalam, katakan, Bab 5 dari Curl Algebra Fulton, pengenalan standard untuk geometri algebraik sarjana." berapa banyak masa yang dibenarkan untuk berfikir setiap latihan? Jika kita memberi mereka masa yang cukup untuk membaca buku dan amalan, cukup pasti kepada saya mereka akan menyelesaikannya. Bukankah mereka dibenarkan membaca buku itu, dan harus menyelesaikannya di tempat, berapa banyak masa?
8 Georges Elencwajg 07/28/2017
Dear @Santropedro, tentu saja jika penganalisis cemerlang itu diberikan seminggu atau dua dia dapat membaca buku itu dan kemudian menyelesaikan latihannya. Perkara yang saya ingin buat ialah dia mungkin tidak dapat menyelesaikannya dengan apa yang dia tahu sekarang.
2 Michael Kay 07/28/2017
Beberapa tahun yang lalu saya fikir ia akan menjadi lucu untuk mencuba dan menangani kertas matematik GCSE (untuk anak berusia 16 tahun) yang anak perempuan saya dibawa ke rumah. Pada usia itu saya akan berlayar tanpa kesulitan. Saya mendapati saya tidak dapat menjawab satu soalan, walaupun kerja saya dalam kejuruteraan perisian melibatkan pendedahan biasa kepada banyak matematik.
2 Georges Elencwajg 07/30/2017
@Mars: ya, itu betul-betul titik. OP bertanya tentang subjek yang ahli matematik was biasa. Persoalan sama ada dia could membiasakan diri dengan subjek sedemikian dan berapa lama ia akan mengambil masa yang berlainan, dan agak berkait dengan idea yang "cemerlang".

MCS 07/29/2017.

Dua sen saya: melainkan jika anda mempunyai otak ajaib, atau semacam jenius yang membuat era, anda mungkin akan mendapati bahawa anda hanya boleh memegang hanya banyak matematik dalam fikiran anda pada bila-bila masa yang diberikan. Oleh itu, atas sebab-sebab praktikal - kedua-duanya berkenaan dengan menulis disertasi, dan berkenaan dengan membuat kerjaya untuk diri anda, anda sepatutnya berpegang kepada satu atau dua bidang yang berkait rapat, supaya anda mungkin mempunyai kepakaran yang mencukupi untuk menjadikan diri anda berguna untuk institusi penyelidikan atau apa sahaja yang anda mahu lakukan dengan masa depan anda.

Bahawa dikatakan, saya telah mendapati bahawa lemak siku dan kemahiran dalam matematik sering sungguh uncorrelated dengan satu sama lain. Sebaliknya, kemahiran sering bergantung kepada berapa banyak matematik yang pernah seen . Untuk itu, saya akan mengatakan, walaupun anda perlu memilih kawasan subjek atau dua untuk memanggil anda sendiri, anda harus berusaha menjaga minda terbuka dan mengekalkan kepentingan aktif dalam pelbagai jenis disiplin matematik yang mungkin.

Saya sering mendapati bahawa membaca (walaupun hanya bersahaja) tentang bentuk matematik yang tidak berkaitan dengan bidang penyelidikan saya memberikan banyak idea dan pandangan baru. Semakin banyak corak dan fenomena yang anda kenal, lebih baik kemungkinan anda akan melihat sesuatu yang menarik untuk mengganggu kerja anda, dan itu mungkin memberi anda sedikit gerak hati yang anda mungkin tidak mempunyai sebaliknya. Sekurang-kurangnya, ia akan membantu anda mengetahui topik atau sumber (atau kolaborator ...) untuk mencari apabila anda tersandung sesuatu di luar kawasan kepakaran anda.

Edit: Satu lagi perkara. Linear algebra. Untuk mengfrasive Benedict Gross, tidak ada perkara seperti mengetahui terlalu banyak Linear algebra. Ia freakin ' everywhere - everywhere .


paul garrett 07/27/2017.

Terdapat, tentu saja, kekaburan yang hebat dalam soalan itu. Tetapi, dengan apa-apa tafsiran, jawapannya pada umumnya, "tidak, kebanyakan pengamal beberapa bahagian X tidak ingat semua X ... kerana mereka tidak need ".

Oleh itu, jika hanya kerana kenangan orang-orang yang paling pintar-pintar memudar dengan masa, hanya ada sedikit sisa perkara asas-asas dalam minda ahli matematik yang bekerja pada satu perkara tertentu selama beberapa tahun. Selain dari kalkulus mengajar, ada yang need diingat lagi. Ya, dari sudut pandang biasiswa, ini berpotensi menyusahkan, tetapi, sebenarnya, dalam hampir semua situasi matematik profesional, terdapat motivasi / ganjaran yang kurang untuk mendapatkan beasiswa tulen. Ia entah bagaimana tidak sesuai dengan rumusan kenaikan gaji, tempoh, atau banyak lagi. (Tidak, saya sendiri peduli sama ada saya cuba memahami perkara "untuk bayar", atau tidak ...)

Benar, kebanyakan program siswazah di Amerika Syarikat dalam matematik berusaha untuk menghasilkan sedikit kecekapan / penghargaan yang minimum untuk sebahagian besar matematik asas, tetapi selepas "lulus kualifikat" nampaknya kebanyakan orang tidak banyak menaruh minat untuk terus mengejar biasiswa, sama ada secara prinsip atau untuk faedah langsung.

Juga, saya mengambil isu dengan (yang saya fikir adalah) gambaran ringkas bahawa "pengkhususan" adalah seperti "mengezum dengan mikroskop", dan sebagainya. Pasti, ini adalah pandangan dunia yang boleh dipertahankan, dan pandangan dunia yang bijak, dan, pasti, dengan tindakan seseorang seseorang dapat menjadikannya gambaran yang accurate ... tetapi saya fikir ia tidak tepat mengenai realiti. Khususnya, saya tidak nampak ide-ide tulen sebagai hampir "dilokalisasikan" sebagai "mikroskop zum fizikal" akan relevan. Iaitu, idea bahawa "matematik" boleh dengan cara yang munasabah digambarkan sebagai sesuatu yang fizikal, yang melibatkan semua kesesuaian tempatan yang menunjukkan, saya fikir adalah sangat tidak tepat. Sekali lagi, ya, kita boleh make tepat, jika tidak ada yang lain kerana kebodohan atau jahil. Tetapi ...


Dennis Jaheruddin 07/29/2017.

Persoalan berapa banyak topik matematik matematikian purata tahu, sangat bergantung kepada dua definisi:

  1. Topik
  2. Tahu

Sudah tentu ia juga bergantung kepada definisi lain (seperti ahli matematik) tetapi pada tahap yang lebih rendah.

Pendekatan kuantitatif untuk menjawab soalan ini

Marilah kita menentukan tahap topik di dalam yang berikut, longgar berdasarkan wikipedia :

  1. Matematik (1 topik di peringkat ini)
  2. Matematik Tulen / Matematik Gunaan (2 topik pada tahap ini)
  3. Aljabar, ..., Penyelidikan Operasi (13 topik di peringkat ini)
  4. Algebra abstrak, Algebra Boolean, ... (topik pada tahap ini)

Sekarang, berdasarkan pengalaman peribadi dan imej ahli matematik purata, saya dapat menjawab berapa banyak ahli matematik seperti itu yang tahu tentang ini, untuk setiap peringkat:

  1. Boleh lulus kursus siswazah mengenai topik ini
  2. Boleh lulus kursus siswazah mengenai topik ini
  3. Boleh lulus kursus lepasan di beberapa topik ini, boleh lulus kursus pengenalan pada kebanyakan topik ini
  4. Boleh lulus kursus lepasan di beberapa topik ini (mungkin 5 ~ 15%)

Perhatikan bahawa jika anda bergerak melebihi tahap 4, anda akan menjadi sangat spesifik bahawa anda mungkin tidak menemui kursus siswazah lengkap mengenai topik tersebut. Oleh itu kesimpulan saya:

Berdasarkan pengalaman peribadi, saya mengharapkan seorang ahli matematik rata-rata mempunyai pengetahuan yang baik di antara 5% hingga 15% topik pada tahap kursus siswazah


Linas 07/29/2017.

Saya menghabiskan beberapa tahun dalam satu projek untuk membaca 1-2 bab pertama dari sekurang-kurangnya satu buku matematik di setiap rak perpustakaan universiti. Ini adalah percubaan untuk mendapatkan kaji selidik matematik yang tidak berat sebelah. Ia bagus untuk saya, tetapi ia adalah kemewahan: perarakan terpaksa melalui program PhD dan ke akademia menawarkan sedikit masa untuk tingkah laku sedemikian. Namun penting: semua ahli matematik yang paling terkenal jelas menggunakan alat silang disiplin dalam kerja mereka. Dan, bagi saya, secara peribadi, ia adalah sejenis tahap: tiba-tiba, semuanya lebih mudah.

Mengkhususkan diri dalam satu bidang adalah seperti mengangkat berat dengan hanya lengan kanan anda, mengabaikan teras, belakang dan kaki: ia meninggalkan anda menghairankan lemah dan tidak mampu. Apabila anda perlu menguasai banyak gaya abstraksi yang berbeza, anda akan menjadi lebih baik pada abstraksi, secara umum, walaupun dalam keistimewaan yang anda pilih. Ini, kepada saya, adalah kejutan besar yang tidak dijangka.

Untuk soalan kuantitatif yang ditanya di sini: bolehkah saya "lulus ujian pada kursus peringkat XYZ?" untuk kursus 1 semester 1 semester, mungkin, mungkin. Lebih kurang. Ujian cenderung menimbulkan persoalan dengan menggunakan ungkapan dan notasi yang selaras dengan buku teks kelas, dan notasi ini boleh berbeza-beza dari satu buku teks ke buku teks yang lain. Jadi untuk itu, persediaan akan diperlukan. Intinya ialah persediaan sedemikian menjadi lebih mudah.

1 comments
Lehs 07/29/2017
Harus ada banyak buku matematik di perpustakaan universiti. Saya tidak akan dapat belajar semua tajuk dan sudah tentu tidak semua definisi dalam semua buku tersebut. Dan hanya mustahil untuk mengingati banyak konteks. Tetapi ahli matematik profesional mungkin dapat memahami konteks mana-mana buku jika dia perlu.

R K Sinha 08/07/2017.

Terdapat sedikit kelebihan buku teks di peringkat sarjana dalam matematik yang ditulis dengan matlamat mengajar "subjek sebenar" secepat mungkin. "Manifold Smooth by Sinha" adalah salah satu buku tersebut. Sekiranya banyak buku jenis itu boleh didapati, maka beasiswa dalam matematik tidak akan menjadi ketawa.


John Bentin 07/27/2017.

Sudah tentu tidak. Sebagai contoh, Grothendieck ahli matematik yang hebat tidak mencukupi mengetahui aritmetik untuk mengenali integer $ 57 $ sebagai bukan perdana. Banyak akaun kisah ini boleh diakses oleh carian internet untuk istilah utama; katakan, cari grothendieck prime 57 .

5 comments
24 José Carlos Santos 07/27/2017
Ini adalah contoh yang tidak masuk akal! Grothendieck sedang memikirkan tentang jumlah keseluruhan. Dia hanya tidak peduli mengenai sama ada atau tidak $ 57 $ adalah perdana.
19 Georges Elencwajg 07/27/2017
Cerita ini tidak dibuat: Grothendieck membuat kesalahan yang bodoh itu, dalam pertukaran selepas ceramah, setelah diminta untuk menjadi lebih konkrit oleh seorang ahli penonton. Sudah tentu ini tidak mengubah apa-apa kepada fakta bahawa Grothendieck adalah salah satu ahli aritmetik yang paling mendalam pada abad ke-20. Dan sesungguhnya 57 looks agak prima untuk beberapa sebab psikologi :-). Sebaliknya ramai ahli matematik berfikir saya menarik kaki mereka apabila saya memberitahu mereka bahawa $ 4999 $ is perdana!
1 Dair 07/27/2017
Saya percaya Terrance Tao juga mengatakan 27 adalah perdana pada laporan Colbert, atau sesuatu seperti itu: p (Tidak bahawa dia tidak mengetahui dengan primes, hanya anekdot lucu) Namun, soalan yang lebih baik adalah bagaimana saya tahu ini? Dan, apa yang saya lakukan dengan hidup saya?
1 quid 07/27/2017
'Tetapi Grothendieck pasti tahu bahawa 57 bukan perdana, bukan? Tidak semestinya, kata David Mumford dari Universiti Brown. "Dia tidak berfikir secara konkrit." Kerana sesungguhnya dia tahu dalam erti kata dia boleh menjawab soalan "Adakah 57 nombor perdana?" betul, dan ini akan kabur di sana.
1 John R Ramsden 08/02/2017
Sekiranya menjawab soalan asal oleh apa yang kelihatan sebagai pendekatan yang sedikit hambar untuk menunjukkan jurang yang tidak dapat dielakkan walaupun pengetahuan matematikawan yang paling besar, contoh yang lebih baik daripada slip aritmetik bodoh akan berlaku apabila Grothendieck meminta rakan sekerja tentang integral tertentu yang pasti beliau telah menemui, dan terkejut diberitahu ia biasanya dipanggil Pengedaran Biasa.

Related questions

Hot questions

Language

Popular Tags